在线矩阵计算器
什么是数学矩阵矩阵加法和减法矩阵乘法矩阵行列式矩阵转置矩阵计算器使用这个计算器,您可以进行矩阵加法、减法或乘法,并计算矩阵行列式。要执行所需的计算,只需按照相应部分中示例下方显示的按钮即可。
即使不使用计算器,您也可以轻松转置矩阵,只需遵循详细说明操作。
什么是数学矩阵矩阵是一个由$m$行和$n$列组成的矩形表格,其中包含数字、符号或表达式等元素。每个矩阵元素位于特定行和列的交点处。
矩阵通常用大写字母表示,例如 $A$。矩阵的单个元素使用下标表示,例如 $a_{12}$ 表示位于第一行和第二列的元素。
$$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}
$$
矩阵的大小表示为$m \times n$。例如,一个$3 \times 4$的矩阵将有3行和4列。您可以在普通的计算器上将$m$乘以$n$来计算矩阵中元素的数量:$3 \cdot 4 = 12$。
矩阵加法和减法矩阵加法和减法是通过对应元素相加或相减的运算。但前提是两个矩阵必须具有相同的大小,即行数和列数相同。
矩阵加法示例:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
\ + \
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{bmatrix} \ = \
$$
$$
\ = \ \begin{bmatrix}
1+1 & 2+2 & 3+3 \\
4+3 & 5+2 & 6+1
\end{bmatrix} \ = \
$$
$$
\ = \ \begin{bmatrix}
2 & 4 & 6 \\
7 & 7 & 7
\end{bmatrix}
$$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ][ 4 , 5 , 6 ] ]+ [ [ 1 , 2 , 3 ][ 3 , 2 , 1 ] ] =
矩阵减法示例:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
\ - \
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{bmatrix} \ = \
$$
$$\ = \ \begin{bmatrix}
1-3 & 2-2 & 3-1 \\
4-1 & 5-2 & 6-3
\end{bmatrix} \ = \
$$
$$\ = \ \begin{bmatrix}
-2 & 0 & 2 \\
3 & 3 & 3
\end{bmatrix}
$$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ][ 4 , 5 , 6 ] ]- [ [ 3 , 2 , 1 ][ 1 , 2 , 3 ] ] =
矩阵乘法两个矩阵相乘是计算一个新矩阵(称为矩阵积)的运算。这个新矩阵中的每个元素等于第一个矩阵对应行元素与第二个矩阵对应列元素的乘积之和。执行矩阵乘法需要第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法示例:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
\ \cdot \
\begin{bmatrix}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{bmatrix} \ = \
$$
$$
\ = \ \begin{bmatrix}
1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\
4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12
\end{bmatrix} \ = \
$$
$$\ = \ \begin{bmatrix}
58 & 64 \\
139 & 154
\end{bmatrix}
$$
2nd [ [ 1 , 2 , 3 ][ 4 , 5 , 6 ] ]2nd × 2nd [ [ 7 , 8 ][ 9 , 1 0 ][ 1 1 , 1 2 ] ] =
矩阵行列式矩阵行列式($det(A)$或$|A|$)是一个特征值,用于描述方阵的性质。
计算行列式的示例(det需在计算器屏幕下方的空白区域输入,使用计算机键盘):
$$
|A| = \begin{vmatrix}
1 & -2 & 3 \\
4 & 0 & 6 \\
-7 & 8 & 9
\end{vmatrix} = 204
$$
d e t ( 2nd [[ 1 , - 2 , 3 ][ 4 , 0 , 6 ][ - 7 , 8 , 9 ]] 2nd ) =
矩阵转置转置是一种运算,将原始矩阵的行和列互换位置,即原始矩阵的行变成转置矩阵的列,原始矩阵的列变成转置矩阵的行。如果$A$是原始矩阵,则转置矩阵表示为$A^T$。如果原始矩阵$A$的大小为$m \times n$,则转置矩阵$A^T$的大小将为$n \times m$。
$$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}
$$
要获得转置矩阵$A^T$,需要交换原始矩阵$A$的行和列位置。具体操作步骤如下:
取出原始矩阵$A$的第一行元素$a_{11}$到$a_{1n}$,将它们作为转置矩阵$A^T$的第一列写下:
$$
A^T = \begin{bmatrix}
a_{11} \\
a_{12} \\
\vdots \\
a_{1n}
\end{bmatrix}
$$
取出原始矩阵$A$的第二行元素$a_{21}$到$a_{2n}$,将它们作为$A^T$的第二列写下:
$$
A^T = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} \\
a_{12} & a_{22} \\
\vdots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n}
\end{bmatrix}
$$
对$A$的所有行重复此步骤,直到所有行都作为$A^T$的列写下:
$$
A^T = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}
$$
因此,转置矩阵$A^T$中的元素$a^T_{ij}$对应于原始矩阵$A$中的元素$a_{ji}$。
矩阵转置示例:
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{bmatrix}
\ \ A^T = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 5 \\
2 & 4 & 6
\end{bmatrix}
$$
